Cinemática - Gráficos do MU e MUV

Aplicações das funções matemáticas (constante, 1º grau e 2º grau) em cinemática.

1) Função constante

É a função y=k, onde k é um número real.  O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo do x passando pelo ponto (x=0, y=k).  Figura-1.

Exemplos (em cinemática):

Quando um ponto material está em repouso (=parado) no quilômetro 100 de uma rodovia, seu espaço é constante com o tempo, figura-2; A velocidade v de um movimento uniforme é uma função constante com o tempo, figura-3; no movimento uniformemente acelerado MUV a aceleração é constante com o tempo, figura-4.

 2)  Função linear e função do 1º grau

Função linear é a função y=bx, onde b é um número real, diferente de zero. Seu gráfico é uma reta que passa pela origem O do plano cartesiano (Oxy), figura-5.

Função do 1º grau é a função y = bx + a, onde a e b são números reais (b≠0).  Seu gráfico também é uma reta, figura-6.  Se a=0, a função do 1º grau se reduz a uma função linear.

Exemplos (em cinemática):

A função horária do movimento uniforme (MU) s = s₀ + vt é do 1º grau em t, figura-7; e a função v = v₀ + αt da velocidade do MUV, também, é do 1º grau em t, figura-8.

3) Função do 2º grau

É a função y = a + bx + cx², onde a, b, c são números reais (c≠0).Seu gráfico é uma parábola.  Se o coeficiente c é positivo, a parábola tem concavidade voltada para cima, figura-09; se c é negativo, a concavidade é voltada para baixo, figura-10.

A função horária do movimento uniformemente variado (MUV) s = s₀ + v₀t + (α/2)t² é do tipo 2º grau em t.  O sinal da aceleração α determina a concavidade da parábola.  Se α > 0 é voltada para cima e se α < 0 é voltada para baixo, figura-11.

4) Coeficiente angular da reta

Na função do 1º grau y = a + bx, o número real b é chamado de coeficiente angular ou declive de reta representada no eixo cartesiano. O coeficiente angular b está associado ao ângulo θ da direção da reta com o eixo x, figura-12.

O coeficiente angular é numericamente igual à tangente trigonométrica do ângulo da direção da reta com o eixo x.

Se a função y = a + bx é crescente (figura-13), o coeficiente angular b é positivo e a tgθ é positiva. Se a função y = a + bx é descrescente (figura-14), o coeficiente angular é negativo e a tgθ é negativa.

A função horária s = f(t) do movimento uniforme é uma função do 1º grau em t, onde o coeficiente angular é a própria velocidade do movimento, 

figura-15:

A função da velocidade v = f(t) do movimento uniformemente variado (MUV) é uma função do 1º grau em t, onde o coeficiente angular é a própria aceleração do movimento, figura-16:

Vamos considerar o gráfico da função s = f(t) de um movimento qualquer, não uniforme (Fig-17).

Os tempos t₁ e t₂ correspondem às posições s₁ e s₂ (Fig-18).

A velocidade média neste intervalo de tempo é: 

Para determinar a velocidade instantânea em t₁ devemos calcular o valor limite de ∆s/∆t, quando ∆t → 0, ou t₂ → t₁ (como já foi visto na postagem anterior).

À medida que t₂ tende a t₁, o segmento P₁P₂ tende a tangente geométrica à curva do ponto P1 (Fig-19). 

Portanto, a velocidade instantânea em t₁ será medida pela tgθ, onde θ é o ângulo formado pela tangente geométrica à curva do ponto P₁ com o eixo t (Fig-20). 

Resumindo: se a função representada graficamente é a do 1º grau, o ângulo θ é o ângulo formado pela reta representativa da função com o eixo t (figura-21).

No entanto, se a função em estudo não é do 1º grau, o ângulo θ será o ângulo formado pela tangente geométrica à curva com o eixo t (Fig-22).

De forma análoga, podemos aplicar os mesmos procedimentos para a função velocidade v = f(t); sendo que neste caso, a tgθ nos fornece a aceleração α do movimento (Fig-23).

Todas as propriedades gráficas anteriores podem ser resumidas em EVA, sendo E indica o espaço, V a velocidade e A igual à aceleração:

Em outras palavras: no gráfico do espaço em função do tempo, a tgθ nos fornece a velocidade; no gráfico da velocidade em função do tempo, a tgθ nos fornece a aceleração.

5)  Cálculos de áreas em cinemática.

No movimento uniforme (MU) a velocidade é uma função constante com o tempo (Fig-24).  Nessa figura,  o número que mede a área A é igual ao número que mede o espaço percorrido ∆s no intervalo de tempo t₁ e t₂.

Verifiquemos essa propriedade considerando o movimento:

s = 5 + 10t (t→s, s→m), onde v=10 m/s=constante.

A = 2 x 10 = 20; portanto a área é numericamente igual ao espaço percorrido nesse intervalo de tempo.

Essa propriedade é verdadeira para qualquer tipo de movimento. Na figura-25, no gráfico da velocidade em função do tempo, a área A da região, delimitada pela curva e o eixo das abscissas é numericamente igual ao espaço percorrido (∆s) pelo móvel nesse intervalo de tempo.

No movimento uniformemente variado (MUV) cuja velocidade varia com o tempo, segundo a equação:

v = 10 + 2t  (t→s, v→m/s) e α = 2 m/s²

No gráfico da aceleração α em função do tempo (Fig-26), a área A é numericamente igual à variação de velocidade ∆v, no intervalo de tempo de t₁ = 2s  e  t₂ = 4s.

No gráfico-26, a área A é A = 2 x 2 = 4, portanto, ∆v = 4 m/s

Essa propriedade é válida em qualquer tipo de movimento.  A aceleração em função do tempo, na figura-27, a área A da região delimitada pela curva e o eixo das abscissas é numericamente igual à variação de velocidade (∆v) do móvel nesse intervalo de tempo.

As propriedades gráficas estudadas neste item resultam em AVE.  Onde A=aceleração, V=velocidade e E=espaço.

Assim, no gráfico da aceleração em função do tempo, numericamente a área A mede a variação de velocidade.  No gráfico da velocidade em função do tempo, numericamente a área A mede o espaço percorrido.

6) Juntando EVA e AVE, temos:

Nota-se que fundamentalmente, há 2 tipos de cálculos em gráficos:

O cálculo da tgθ; tangente trigonométrica do ângulo da inclinação da reta, que tangencia geometricamente, em um ponto, o gráfico da função(Fig28).

O cálculo da área A da região delimitada pelo gráfico da função, e pelo eixo dos tempos e pelos 2 segmentos de reta perpendiculares ao eixo dos tempos (Fig-29).