Distância mínima e máxima em relação à origem dos espaços do
móvel cuja equação horária é do tipo função do 2º grau.
Genericamente temos: s(t) = c + bt + at² e sabemos que as coordenadas do vértice no
plano cartesiano são dadas por: Vértice = (-b/2a, -∆/4a).
Vamos deduzir as coordenadas
do vértice: Vértice
= (-b/2a, -∆/4a).
Pelas figuras acima temos podemos afirmar que:
(1)
t1 e t2 são raízes da
função horária;
(2)
tv é ponto médio de t1 e t2.
Vamos tomar as raízes e substituir na equação: c + bt + at² = 0
(t = t1)
→ c + bt1+ at1² =
0 (I)
(t = t2)
→ c + bt2+ at2² =
0 (II)
(I) = (II) → c + bt1+ at1² = c + bt2+ at2² ↔ bt1+
at1² = bt2+ at2² ↔
at1² - at2²
= bt2 - bt1 ↔ a(t1²
- t2² ) = b(t2 - t1) ↔ a( t1 + t2)(t1
- t2) = b(t2 - t1) = -b(t1 – t2) ↔ a( t1 + t2)
= -b ↔ ( t1 + t2)
= -b/a ↔ ( t1 + t2)/2
= -b/2a (III)
Por outro lado: temos que tv é ponto médio de t1 e t2,
isto é:
tv
= ( t1 + t2)/2 (IV)
Comparando (III) e (IV) temos que: tv = -b/2a
Vamos calcular o Sv:
S(tv=-b/2a) = c + b(-b/2a) + a(-b/2a)²
= c –b²/2a + b²/4a = (4ac – b²)/4a = - (b²-4ac)/4a = -∆/4a ↔ Sv =
-∆/4a
Portanto, as coordenadas do vértice são: Vértice = (-b/2a,
-∆/4a)
OUTRA MANEIRA DE OBTER RAPIDAMENTE AS COORDENADAS DO
VÉRTICE É APLICAR O CONCEITO DE DERIVADA.
Seja uma equação horária genérica s(t) = c + bt + at².
A derivada ds(t)/dt = b+2at, para o ponto de mínimo, ou
máximo, basta igualar a zero, então temos: 0 = b+2at ↔ t = -b/2a ↔ tv = -b/2a
E para obter Sv, basta substituir na equação horária inicial e
temos:
S(tv=-b/2a) = c + b(-b/2a) + a(-b/2a)²
= c –b²/2a + b²/4a = (4ac – b²)/4a = - (b²-4ac)/4a = -∆/4a ↔ Sv =
-∆/4a
Portanto, as coordenadas do vértice são: Vértice = (-b/2a,
-∆/4a)
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